Ви використовуєте застарілий браузер. Цей та інші сайти можуть відображатися в ньому некоректно. Необхідно оновити браузер або спробувати використовувати https://www.google.com/chrome/
Квартиру посуточно без предьявления паспорта не сдадут. Так что заранее не удастся договориться. Как вариант - через агенство, но это неблагодарное дело. Да и без предоплаты с вами врядли кто-то из агентов захочет работать. Нужно пробить несколько телефонов с посуточными квартирами и напрямую позвонить из вашего города в Харьков. Первым вопросом сразу спросить "вы хозяин или агенство?".
