Береза, она самая. Ива годится. Рябину можно, в том числе ягоды, но не все шушки ее любят. Очень любят яблони и груши веточки. Сосновые шишки закрытые, без вредителей можно собрать, ошпарить и высушить, хорошо грызут.
Нельзя ветки косточковых (вишня, абрикос, слива), там в коре вредные вещества. Дуб не надо - крепит. Дубовую кору им от поноса дают.
Можно шиповника ветку (шипы лучше срезать), орешник лесной-лещина (не грецкий орех).
Ветку помойте холодной водой, щеткой потрите и высушите хорошенько несколько дней. Сколько Вашему шушику ? А провода и толстые вмиг берет на зуб (как стаффордширский пес

), так что все спрячьте хорошенько. Причем непредсказуемо - может и год бегать, не трогать, а потом мимоходом - кусь.