Ладно, Господа хорошие,
мне надоело ждать ответа от родоначальника темы, поэтому даю исправленный вариант решения.
...
Ха, а задачка-то сформулирована неполно: как бак расположен горизонтально или вертикально?
b - константа, ширина нашей квадратной пластины. Считаем, что поверхность пластины установлены вертикально, ее ребра параллельны/перпендикурны поверхности. Но в принципе, это не важно, лишь бы нас удовлетворяла точность формулы для ескрсти конденсатора C = e e0 S / d. Все равно ведь Q = d dS/dt. Вот если обкладки горизонтальны, то все будет сложнее.
Уважаемый
tcpip, у меня тоже возникали эти вредные мысли. Но, из условия задачи однозначно вытекает, что
керосин вытекает так, и только так, что величина тока остаётся неизменной. Такой, вот, каламбур.
Кстати, Макс Вертгеймер, основатель гештальтпсихологии (не путать с гештальт-терапией
) ставя эксперименты на живых людях — в частности, давая одну и туже простейшую задачу на интегрирование детям 6-8 лет и взрослым после 30 — выяснил, что взрослые в отличие от детей склонны "наворачивать". Причем, вплоть до того, что не могут решить, ссылаясь на то, что не помнят формул, в то время как дети её решали очень быстро, т. к. при решении можно прибегнуть к пространственно-образному представлению. Т. е. Вертгеймер не просил дать точный результат, а найти кратчайшим путём способ решения.
И так, напомним:
Из плоского конденсатора вытекает керосин, которым был залит конденсатор. При этом в цепи которая соединяет батарею аккумуляторов в 100 вольт течет ток 2 Е-11 ампер. С какой скоростью вытекает керосин? Пластины конденсатора квадратные сечением 100 см.кв. расстояние между пластинами 1 мм.
Комментарии: Понятно, что изменяется емкость, но формула ставит в тупик непонятной дельтой за скобкой...
по моим расчётам скорость истечения 5Е-7 куб м/час
похоже на правду?
...
И так.
I = 2 x 10^-11 А,
U = 100 В,
S = 10^-2 м^2,
l = 10^-3 мм,
«ипсилон» керосина = 2 (по Кошкину и Ширкевичу);
-------------------
найти расход Q (м^3/с).
-------------------
Ток заряда конденсатора: I = C ( dU / dt ); его заряд q = CU; ток, как известно I = dq / dt.
Физический смысл происходящего можно математически выразить в виде (для простоты и т.к. это не оговорено особо, примем линейную форму):
I = (C2U – C1U) / t, где С1 и С2 — некие мгновенные значения ёмкости в последовательные моменты времени.
или же I = U ( dC / dt ).
Откуда, I / U = C / t (в линейной форме).
Так же известно, что для идеального плоского конденсатора C = εε
оS / l.
...
Вот, до этого места правильно. Потом пару строк, почти правильно (серым в исправленном первом моём посте), потом неправильно (
красным).
Продолжаем.
Ещё раз обращаю внимание, ток — неизменный. Поэтому процесс линейный и можно для удобства взять два предельных состояния системы: первое — когда конденсатор полностью заполнен диэлектриком (керосином) и второе — когда конденсатор пуст (с достаточной точностью можно принять, что в нём при этом находится вакуум или воздух, чьи диэлектрические проницаемости почти одинаковы, и принять ε
в = 1).
Cполный = C2 = ε
кε
оS / l
Cпустой = C1 = ε
вε
оS / l
, где ε
к — диэлектрическая проницаемость керосина,
ε
в — диэлектрическая проницаемость вакуума.
Откуда
ΔC = ε
кε
оS / l – ε
вε
оS / l =
= (ε
к – ε
в)ε
оS / l
Т. к.
I = ΔCU / Δt,
то
I / U = ΔC / Δt = (ε
к – ε
в)ε
оS / l ∙ t
и
ΔS / Δt = I ∙ l / (ε
к – ε
в)ε
оU
Расход жидкости, как известно, Q = ΔV / Δt, где V — объём. V = Sl.
Следовательно
I ∙ l / (ε
к – ε
в)ε
оU = ΔV / l∙Δt
Откуда
Q = ΔV / Δt = I∙l^2 / (ε
к – ε
в)ε
оU
Проверка размерностей [Q] = А ∙ м^2 / Ф/м ∙ В ... тра-та-та (тяжело писать печатным текстом) = м^3 / с.
QED
Численно:
т. к. от прежней выведенной формулы эта отличается в разницу «ипсилон», которая в данном случае равна 2, то результат 2 ∙ 11,3 мкл/с = 22,6 мкл/с.
или полностью
Q = ( 2 x 10^-11 А ∙ (10^-3 м)^2 ) / [(2 – 1) ∙ ( 8,85 х 10^-12 Ф/м ∙ 100 В )] =
= 1 / 8,85 х 10^5 ≈ 1,13 х 10^-6 м^3/с = 1,13 х 10^-3 л/с = 22,6 мкл/с
---------------------------------------------------------------------
Также эту задачу можно решить ещё более наглядным образом, найдя время, за которое вытечет весь керосин из полностью заполненного конденсатора:
т. к. I / U = ΔC / t, то
t = ΔCU / I = (ε
к – ε
в)ε
оS ∙ U / I ∙ l
t = (2 – 1) ∙ 8,85^-12 Ф/м ∙ 10^-2 м^2 ∙ 100 В / (2^-11 А ∙ 1^-3 м) = 442,5 с
Объём занимаемый диэлектриком между пластинами конденсатора:
V = l ∙ S
V = 10^-3 м ∙ 10^-2 м^2 = 10^-5 м^3
Откуда скорость истечения:
Q = V / t
Q = 10^-5 м^3 / 442,5 с ≈ 22,6 ∙ 10^-9 м^3/c = 22,6 мкл/с
Полученный результат подтверждает полученный выше.
QED
P. S. В построении сделанном первый раз, получается так, как будто с керосином вытекает "площадь" пластин.
