Если обое родителей были бы прописаны у свекрови, тогда ок, можно было бы и ребенка прописать, но мы имеем другую ситуацию, муж прописан у матери(свекрови), ТС у отца(своего).
Из этого следует что ТС может подать в суд по прописанию ребенка у мужа а муж может подать в суд по прописанию ребенка у жены. А законных механизмов какое решение вынести - нет. И это будет длиться пока один из них не заберет свое заявление и/или не пропишет ребенка.
+ нужно учитывать, что они проживают раздельно, и нужно обосновать почему именно у мужа, если ребенок фактически находиться у матери.
Не все так просто, для того чтобы прописать ребенка в съемном жилье, вы должны быть сами в нем прописаны, нужны документы на это жилье и копии паспорта владельца. И когда вы снимаете жилье, я сомневаюсь что вы располагаете данным набором документов. + должен быть контракт, на основании чего вы там проживаете.
Если вы подаете в суд чтобы прописать там ребенка, без контракта вы не докажите что вы там проживаете, + у орендодателя есть время разорвать с вами контракт, после чего вы вписать ребенка не сможете.