Я черенки укореняю начиная с ранней весны. Лучше укореняются полуодревесневшие. Действительно, горшочек с укореняемыми черенками должен находиться в тепле(я ставлю горшочки над батареей). Просто горшочек с землей, в него воткнуть черенки, следить, чтобы земля была влажной(но не мокрющей), cверху горшочек закрываю прозрачным кульком. Тут, главное, с сыростью не переборщить, чтобы черенки плесневеть не вздумали. Способ дедовский, но такая импровизированная тепличка - это то, что нужно для укоренения.
Я бы сказала, что бугенвиллея абсолютно неприхотливое растение при условии достаточного тепла, света и правильного полива (летом обильно, зимой по мере подсыхания на сантиметр-два верхнего слоя земли). И с горшком нужно угадать. Так как пересадку растение не очень любит. Но в больших горшках жирует, а в слишком тесных страдает и цветет плохо. И обрезка веточек не всегда помогает удержать нижнюю часть растения в нужных вам пределах. Считаю (из моего опыта), что пересадка необходима, когда верхний слой в горшке невозможно взрыхлить - все пронизано тонкой сеточкой мелких корешков. Тогда только следует пересадить в больший горшок. Вернее, перевалить.