Итак, рассматриваем идеальные сферические килограммы в вакууме. Раз дело обстоит в вакууме, то силой Архимеда можно пренебречь.
Землю тоже посчитаем идеально сферической и однородной с соответствующим гравитационным полем. Тут нам придется дофига интегрировать
Со сферами как-раз все очень легко интегрируется.
P.S. В такой крайне сокращенной формулировке задачи как у ТС, вообще не указано, что образцы находятся на одинаковой высоте над землей. Следовательно это над предполагать. Раз надо предполагать, что "на одинаковой высоте над землей", почему вы предполагаете что на одинаковой высоте нижняя точка, а не центр?
На мой взгляд, при разумном домысливании дополнительных условий, не указанных ТС, килограмм свинца и дерева весят одинаково. Потому что разумно домыслить, что они находятся в одинаковых условиях, т.к. явно не указано обратное. В вакууме, при одинаковой температуре и одинаковой высоте центра от центра Земли. И именно Земли, а не один из них взвешивают на Марсе, а другой на Венере.
P.P.S. Не следует по умолчанию, если это не указано в условии, полагать, что тела погружены в какую-то среду, например воздух. Потому что тогда возникают вопросы. А почему именно в воздух, а не в воду? Почему не в жидкость, плотность которой ближе к плотности свинца чем дерева? И т.п. Потому тела таки в вакууме.
==================
Вопрос интерпретации условий это на самом деле очень интересный вопрос. Их очень важно интерпретировать правильно. Что еще более важно - всегда существует правильная интерпретация. Это важно потому что часто существует соблазн ответить, что в силу формулировки задача не имеет решения. Это не верно. Задача имеет решение всегда.
Например известная задача про несокрушимый столб и всесокрушающий снаряд. Есть соблазн заявить что она не имеет решения. Это не верно. Решение зависит от того, в каком порядке вводятся понятия "несокрушимый столб" и "всесокрушающий снаряд". Позднее введенное определение имеет приоритет.
То есть, "что будет если всесокрушающий снаряд попадет в несокрушимый столб?" - Ответ: столб устоит. "Что будет если несокрушимый столб поставить на пути всесокрушающего снаряда?" Ответ: столб упадет.
Потому что когда вводится второе по тексту определение, есть дополнительное разумное предположение, что второе определение составляется с учетом первого. В первом примере, когда говорим о несокрушимом столбе, уже подразумевается, что столб настолько несокрушимый, что устоит от снаряда характеристики которого определены ранее. Во втором примере наоборот.
А то, что в задачке вопрошается о весе, а не о массе — не смущает?
