Для решения задачи нам потребуется знать уравнение политропического процесса:
$$PV^{n} = const$$
где $P$ - давление газа, $V$ - его объем, а $n$ - показатель политропы.
Найдем работу газа на политропическом процессе. Для этого воспользуемся уравнением работы газа:
$$A = -\int_{V_1}^{V_2} PdV$$
Так как процесс политропический, то давление газа связано с объемом следующей формулой:
$$P = \frac{k}{V^n}$$
где $k$ - константа. Тогда работа газа может быть представлена в виде:
$$A = -k\int_{V_1}^{V_2} \frac{dV}{V^n} = \frac{k(V_1^{1-n} - V_2^{1-n})}{1-n}$$
Теперь найдем изменение внутренней энергии газа:
$$\Delta U = Q - A$$
где $Q$ - количество теплоты, полученной газом в процессе экспансии. Для этого процесса тепло выделяется, то есть $Q<0$. Таким образом,
$$\Delta U = C_v\Delta T = -A$$
где $C_v$ - молярная теплоемкость при постоянном объеме, $\Delta T$ - изменение температуры в процессе.
Теперь можно выразить молярную теплоемкость в процессе экспансии:
$$C_v = \frac{k(V_2^{1-n} - V_1^{1-n})}{(n-1)\Delta T}$$
Но мы также знаем, что частота ударов молекул о стенку сосуда не изменилась, что означает, что изменение внутренней энергии равняется работе на вытеснение объема, то есть совершенной механической работе. Таким образом, $\Delta U = A$, и
$$C_v = \frac{k(V_2^{1-n} - V_1^{1-n})}{(n-1)A}$$
Подставляя найденное значение работы A, получаем:
$$C_v = \frac{nR}{n-1}$$
где $R$ - универсальная газовая постоянная. Ответ: $C_v = \frac{nR}{n-1}$.
