Найдите все тройки (a; b; c) целых положительных чисел такие, что каждое из чисел ab-c, bc-a, ca-b является степенью двойки.
Степенью двойки называется число вида 2 в степени n, где n - целое неотрицательное число.
Решим по порядку:
Из условия задачи следует, что каждое число ab-c, bc-a, ca-b можно представить в виде 2^n для некоторого целого неотрицательного числа n.
1. Если n = 0, то каждое число равно 1.
2. Если n > 0, то каждое число является четным, так как 2^n делится на 2.
3. Если n < 0, то каждое число меньше 1, что противоречит условию задачи.
Рассмотрим каждое из чисел ab-c, bc-a, ca-b по порядку:
1. ab-c = 1, тогда ab = c+1. Пусть a = b = 1, тогда c = 2. Проверим: 1*1 - 2 = -1 не является степенью двойки.
2. ab-c = 2^n, где n > 0. Тогда ab > c и отсюда a > 1, b > 1, c > 0. Пусть n = 1, тогда ab-c = 2, откуда ab = c+2. Пусть a = 2, b = 4, c = 6. Проверим: 2*4 - 6 = 2 = 2^1. Тогда искомая тройка чисел (a; b; c) = (2; 4; 6).
3. bc-a = 2^n, где n > 0. Тогда bc > a и отсюда b > 1, c > 1, a > 0. Пусть n = 1, тогда bc-a = 2, откуда bc = a+2. Пусть b = 2, c = 3, a = 4. Проверим: 2*3 - 4 = 2 = 2^1. Тогда искомая тройка чисел (a; b; c) = (4; 2; 3).
4. ca-b = 2^n, где n > 0. Тогда ca > b и отсюда c > 1, a > 1, b > 0. Пусть n = 1, тогда ca-b = 2, откуда ca = b+2. Пусть c = 2, a = 3, b = 4. Проверим: 3*2 - 4 = 2 = 2^1. Тогда искомая тройка чисел (a; b; c) = (3; 4; 2).
Итак, мы нашли единственную тройку (a; b; c), которая удовлетворяет условиям задачи, а именно: (2; 4; 6).
(см пост №7)