Задача

Padmasambhava · 30.03.2023

Ян Пофигелов сказав(ла):
решение было таким:
Решение:

Из условия следует, что многочлен имеет ненулевую степень.
Докажем, что данный многочлен p(x) имеет чётную степень, а его график имеет вертикальную ось симметрии.
Не умаляя общности, мы можем считать старший коэффициент многочлена p(x) положительным
(иначе многочлен можно заменить на – p(x)).
Если p(x) имеет нечётную степень, то при всех достаточно больших по абсолютной величине x он возрастает, и, следовательно, может принимать более чем в одной целой точке лишь конечное число значений.
Поэтому степень p(x) чётна.
Тогда при больших положительных x многочлен возрастает, а при больших по модулю отрицательных x — убывает, и, следовательно, все достаточно большие значения, которые он принимает более чем в одной целой точке, он принимает ровно дважды.
Упорядочим эти значения: a1 < a2 < … — и обозначим xk больший, а yk — меньший прообраз ak.
Таким образом, p(xk) = p(yk) = ak.
Мы докажем, что при достаточно больших k сумма xk + yk постоянна.
Для этого рассмотрим два старших коэффициента p(x): p(x) = axn + bxn – 1 + …
Тогда

(многоточия скрывают члены не выше (n – 2)-й степени; кроме того, мы воспользовались чётностью n).
Заметим, что коэффициенты при xn у многочленов p(x) и p(c – x) совпадают; что же до коэффициентов при xn – 1, то существует единственное значение c (а именно c0 = – 2b/(an)), при котором совпадают и они.
Если c > c0, то p(x) – p(c – x) — многочлен степени n – 1 с положительным старшим коэффициентом, следовательно, при достаточно больших x его значения положительны.
Поэтому при достаточно больших k xk + yk < c0 + 0.1 (иначе будет p(yk) > p(c0 + 0.1 – xk) > p(xk)). Если, наоборот, c < c0, то p(x) – p(c – x) — многочлен степени n – 1 с отрицательным старшим коэффициентом, значения которого при достаточно больших x отрицательны.
Поэтому при достаточно больших k xk + yk > c0 – 0.1. Но xk + yk — целые числа, поэтому, начиная с некоторого k, все они равны: xk + yk = c.
Но тогда многочлены p(x) и p(c – x) совпадают почленно (если не все их коэффициенты совпадают, то при больших x знак p(x) – p(c – x) должен совпадать со знаком первого ненулевого коэффициента этой разности; с другой стороны, среди xk есть сколь угодно большие числа, и для них p(c – xk) = p(yk) = p(xk).)
Итак, p(x) = p(c – x) при всех вещественных x.
Тогда любое значение, принимаемое в целой точке x ≠ c/2, принимается и в точке c – x ≠ x.
Поэтому единственное значение, которое может приниматься ровно в одной целой точке — это p(c/2), да и то, если только c/2 – целое.

Его надо цитировать, чтобы он(о) ответил(о).

Padmasambhava · 30.03.2023

ChatGPT сказав(ла):
Для доказательства данного утверждения необходимо воспользоваться методом математической индукции.

База индукции: Пусть степень многочлена не больше 1. В этом случае у него есть не более одной целой точки, в которой он принимает целочисленное значение, так как он либо постоянный, либо линейный, и у него не может быть более одной целочисленной точки.

Шаг индукции: Пусть утверждение верно для всех многочленов степени меньше n. Рассмотрим многочлен f(x) степени n, принимающий целочисленное значение в бесконечном числе целых точек. Предположим, что f(x) принимает целочисленное значение в двух различных целых точках a и b.

Рассмотрим многочлен g(x) = f(x) - f(b). По предположению индукции, многочлен g(x) не может принимать целочисленное значение в более чем одной целой точке. То есть, либо g(x) не принимает целочисленное значение, либо он принимает его только в точке b.

Если g(x) не принимает целочисленного значения, тогда f(x) = f(b) в каждой целой точке. Следовательно, f(x) константа, и тогда у многочлена может быть не более одной целой точки.

Если g(x) принимает целочисленное значение в точке b, тогда f(x) = f(a) также будет целым числом в точке a, так как f(x) - f(b) целочисленное значение на a, и f(b) целочисленное значение на b.

Таким образом, мы доказали, что если многочлен степени n принимает целочисленное значение в более чем одной целой точке, то можно построить многочлен степени n-1, который принимает целочисленное значение в более чем одной целой точке, что противоречит предположению индукции. Следовательно, исходное утверждение верно.

Из условия следует, что многочлен имеет ненулевую степень.
Докажем, что данный многочлен p(x) имеет чётную степень, а его график имеет вертикальную ось симметрии.
Не умаляя общности, мы можем считать старший коэффициент многочлена p(x) положительным
(иначе многочлен можно заменить на – p(x)).
Если p(x) имеет нечётную степень, то при всех достаточно больших по абсолютной величине x он возрастает, и, следовательно, может принимать более чем в одной целой точке лишь конечное число значений.
Поэтому степень p(x) чётна.
Тогда при больших положительных x многочлен возрастает, а при больших по модулю отрицательных x — убывает, и, следовательно, все достаточно большие значения, которые он принимает более чем в одной целой точке, он принимает ровно дважды.
Упорядочим эти значения: a1 < a2 < … — и обозначим xk больший, а yk — меньший прообраз ak.
Таким образом, p(xk) = p(yk) = ak.
Мы докажем, что при достаточно больших k сумма xk + yk постоянна.
Для этого рассмотрим два старших коэффициента p(x): p(x) = axn + bxn – 1 + …
Тогда

(многоточия скрывают члены не выше (n – 2)-й степени; кроме того, мы воспользовались чётностью n).
Заметим, что коэффициенты при xn у многочленов p(x) и p(c – x) совпадают; что же до коэффициентов при xn – 1, то существует единственное значение c (а именно c0 = – 2b/(an)), при котором совпадают и они.
Если c > c0, то p(x) – p(c – x) — многочлен степени n – 1 с положительным старшим коэффициентом, следовательно, при достаточно больших x его значения положительны.
Поэтому при достаточно больших k xk + yk < c0 + 0.1 (иначе будет p(yk) > p(c0 + 0.1 – xk) > p(xk)). Если, наоборот, c < c0, то p(x) – p(c – x) — многочлен степени n – 1 с отрицательным старшим коэффициентом, значения которого при достаточно больших x отрицательны.
Поэтому при достаточно больших k xk + yk > c0 – 0.1. Но xk + yk — целые числа, поэтому, начиная с некоторого k, все они равны: xk + yk = c.
Но тогда многочлены p(x) и p(c – x) совпадают почленно (если не все их коэффициенты совпадают, то при больших x знак p(x) – p(c – x) должен совпадать со знаком первого ненулевого коэффициента этой разности; с другой стороны, среди xk есть сколь угодно большие числа, и для них p(c – xk) = p(yk) = p(xk).)
Итак, p(x) = p(c – x) при всех вещественных x.
Тогда любое значение, принимаемое в целой точке x ≠ c/2, принимается и в точке c – x ≠ x.
Поэтому единственное значение, которое может приниматься ровно в одной целой точке — это p(c/2), да и то, если только c/2 – целое.

Свирид Опанасович · 30.03.2023

Padmasambhava сказав(ла):
Из условия следует, что многочлен имеет ненулевую степень.
Докажем, что данный многочлен p(x) имеет чётную степень, а его график имеет вертикальную ось симметрии.
Не умаляя общности, мы можем считать старший коэффициент многочлена p(x) положительным
(иначе многочлен можно заменить на – p(x)).
Если p(x) имеет нечётную степень, то при всех достаточно больших по абсолютной величине x он возрастает, и, следовательно, может принимать более чем в одной целой точке лишь конечное число значений.
Поэтому степень p(x) чётна.
Тогда при больших положительных x многочлен возрастает, а при больших по модулю отрицательных x — убывает, и, следовательно, все достаточно большие значения, которые он принимает более чем в одной целой точке, он принимает ровно дважды.
Упорядочим эти значения: a1 < a2 < … — и обозначим xk больший, а yk — меньший прообраз ak.
Таким образом, p(xk) = p(yk) = ak.
Мы докажем, что при достаточно больших k сумма xk + yk постоянна.
Для этого рассмотрим два старших коэффициента p(x): p(x) = axn + bxn – 1 + …
Тогда

(многоточия скрывают члены не выше (n – 2)-й степени; кроме того, мы воспользовались чётностью n).
Заметим, что коэффициенты при xn у многочленов p(x) и p(c – x) совпадают; что же до коэффициентов при xn – 1, то существует единственное значение c (а именно c0 = – 2b/(an)), при котором совпадают и они.
Если c > c0, то p(x) – p(c – x) — многочлен степени n – 1 с положительным старшим коэффициентом, следовательно, при достаточно больших x его значения положительны.
Поэтому при достаточно больших k xk + yk < c0 + 0.1 (иначе будет p(yk) > p(c0 + 0.1 – xk) > p(xk)). Если, наоборот, c < c0, то p(x) – p(c – x) — многочлен степени n – 1 с отрицательным старшим коэффициентом, значения которого при достаточно больших x отрицательны.
Поэтому при достаточно больших k xk + yk > c0 – 0.1. Но xk + yk — целые числа, поэтому, начиная с некоторого k, все они равны: xk + yk = c.
Но тогда многочлены p(x) и p(c – x) совпадают почленно (если не все их коэффициенты совпадают, то при больших x знак p(x) – p(c – x) должен совпадать со знаком первого ненулевого коэффициента этой разности; с другой стороны, среди xk есть сколь угодно большие числа, и для них p(c – xk) = p(yk) = p(xk).)
Итак, p(x) = p(c – x) при всех вещественных x.
Тогда любое значение, принимаемое в целой точке x ≠ c/2, принимается и в точке c – x ≠ x.
Поэтому единственное значение, которое может приниматься ровно в одной целой точке — это p(c/2), да и то, если только c/2 – целое.