Без справки о смерти в вашем случае не вступите никак.
После смерти получите медицинское свидетельство о смерти в морге или поликлинике (если перед смертью последние две недели умершего осмотрит врач и сомнения в причинах смерти не будет, то вскрытие можно не делать).
Для этого Вам нужен Ваш паспорт, паспорт умершего, амбулаторная карта из поликлиники. Главное иметь свой паспорт.
Потом с медицинским свидетельством, своим паспортом и паспортом умершего идете в 4-й РАГС на Краснооктябрьской, 19 и получаете Гербовое свидетельство о смерти.
Потом нужно обязательно в течение 6-ти месяцев со дня смерти подать заявление о принятии наследства любому нотариусу в Харькове, который занимается наследственными делами (лучше тому, который оформлял завещание). Стоимость услуг ниже всего у государственных нотариусов Вашего района.