Пусть k — целое положительное число, а S — конечное множество, состоящее из нечётных простых чисел. Докажите, что существует не более одного способа (с точностью до поворотов и отражений) расположить все элементы множества S по кругу так, чтобы произведение любых двух соседних чисел имело вид x^2 + x + k, где x — целое положительное число.🥶😳
Для начала заметим, что если числа a и b имеют вид [imath]x^2+x+k[/imath], то их произведение имеет вид [imath](x^2+x+k) \cdot (y^2+y+k) = (xy+x+y)^2 + (k-xy-x-y)[/imath]. Отсюда следует, что для любых двух соседних элементов [imath]a_i[/imath] и [imath]a_{i+1}[/imath] произведение [imath]a_ia_{i+1}[/imath] должно иметь вид [imath]x^2+x+k[/imath], где [imath]x[/imath] — целое положительное число.
Заметим также, что для любых двух элементов [imath]a_i[/imath] и [imath]a_j[/imath], не являющихся соседними, произведение [imath]a_ia_j[/imath] имеет вид [imath](x^2+x+k)(y^2+y+k) = (xy+\frac{x+y}{2})^2 + k + \frac{1}{4}[/imath], которое не может иметь вид [imath]x^2+x+k[/imath], так как содержит целую часть и [imath]1/4[/imath]. Поэтому все элементы множества S должны быть разделены на пары, соседние элементы которых имеют вид [imath]x^2+x+k[/imath].
Пусть a, b и c — три соседних элемента множества S. Рассмотрим произведения ab и ac. Они имеют вид [imath]x^2+x+k[/imath]. Поэтому произведение bc имеет вид [imath]y^2+y+k[/imath], где [imath]y[/imath] — целое положительное число. Рассмотрим теперь произведение abc. Оно имеет вид [imath]a\cdot b\cdot c = (x^2+x+k)(y^2+y+k) = (xy+x+y)^2 + 4k - (x+y+2xy)[/imath]. Заметим, что число [imath]x+y+2xy[/imath] четно, так как и x, и y — нечетные. Поэтому 4k - (x+y+2xy) четно. Если бы этот результат не был верен для любых соседних элементов a, b и c, мы бы получили различные значения для различных троек, что противоречило бы предыдущему утверждению. Поэтому мы можем записать [imath]4k - (x+y+2xy) = C[/imath], где C — фиксированное четное число.
Теперь мы знаем, что для любых трех соседних элементов a, b и c из множества S, которые имеют вид [imath]x^2+x+k[/imath], число [imath]4k-(x+y+2xy)[/imath] остается равным C. Возможно два случая:
1. Для любой пары соседних элементов a и b, имеющих вид [imath]x^2+x+k[/imath], число [imath]x+y+2xy[/imath] одно и тоже. В этом случае мы можем расположить элементы множества S по кругу в единственном порядке (с точностью до поворотов и отражений) следующим образом: выберем элемент s1 из S, который имеет наименьшее значение [imath]x^2+x+k[/imath]. Расположим его на любом месте круга, а затем расположим оставшиеся элементы в порядке, определяемом значениями [imath]x^2+x+k[/imath].
2. Существуют два значения [imath]x+y+2xy[/imath]. В этом случае мы можем разбить S на два множества S1 и S2, такие что для любой пары элементов a и b, где a принадлежит S1, а b пр
