Смотря чего ты хочешь от поездки.
Если максимума впечатлений - то лучше купить тур выходного дня в любом харьковском турагенстве. Обычно, кроме Краснокутского дендропарка в такой тур входит еще Шаровка, оно там все по пути. Тебя везде повозят, всё покажут и расскажут.

Если просто отдохнуть на природе и полазить по достопримечательности, то можно как я с подругой делала - взяли термос, бутеры и поехали в Краснокутский дендро, пофоткались, погуляли, поехали обратно. Можно присоединиться к экскурсии, если будет там в это время.
На той же маршрутке "Харьков-Краснокутск" народ ездит в Шаровку, водители знают где поворот на неё, останавливают. Но там по лесу еще пройтись надо, от трассы до самой усадьбы.