Вкратце - бред он сказал. Кто-то развлекается)
Эволюта и эвольвента
Пусть плоская кривая γ задана натуральным уравнением
r=r(s),
где параметр s имеет смысл длины дуги кривой. Предположим, что в каждой точке кривизна кривой не равна нулю: K(s)≠0. Тогда в любой точке M можно определить конечный радиус кривизны:
R=R(s)=1K(s).
На нормали n отложим отрезок MC, равный радиусу кривизны R(s) в точке M (рисунок 1). Точка C называется центром кривизны кривой γ в точке M.
центр кривизны кривой
эволюта кривой с особой точкой
Рис.1
Рис.2
Если радиус-вектор центра кривизны обозначить через ρ, то
ρ=OM+MC=r+Rn.
Вектор нормали n определяется выражением
n=1Kdτds=1Kd2rds2=Rd2rds2,
где τ − единичный вектор касательной. Следовательно, положение центра кривизны, соответствующее точке M, описывается формулой
ρ=r+Rn=r+R2d2rds2.
Для каждой точки кривой (при условии K≠0) можно найти свой центр кривизны. Множество всех центров кривизны кривой γ называется эволютой этой кривой.
Если кривая γ1 − эволюта кривой γ, то исходная кривая γ называется эвольвентой кривой γ1.
Обозначим центр кривизны точкой C в координатами (ξ,η). Если кривая γ задана в параметрической форме
x=x(t),y=y(t),α≤t≤β,
то координаты центра кривизны (ξ,η) вычисляются по формулам
ξ=x−y′(x′)2+(y′)2x′y′′−x′′y′,η=y+x′(x′)2+(y′)2x′y′′−x′′y′.
Эти формулы следуют из выражения для радиуса-вектора ρ.
В случае, если кривая γ является графиком функции y=f(x), координаты центра кривизны выражаются в виде
ξ=x−1+(y′)2y′′y′,η=y+1+(y′)2y′′.
Отметим, что условие ненулевой кривизны во всех точках кривой является достаточно жестким. В результате исключаются из анализа, например, кривые с точками перегиба. Поэтому иногда рассматривается более общий случай произвольной кривизны. Если в какой-либо точке кривизна равна нулю, то эволюта в этой точке имеет разрыв. Такой случай схематически показан на рисунке 2.
Пример 1
Определить эволюту окружности
x2+y2=R2.
Решение.
Представим окружность в параметрической форме:
x=Rcost,y=Rsint.
Найдем производные координат x и y по параметру t:
x′=(Rcost)′=−Rsint,y′=(Rsint)′=Rcost,
x′′=(−Rsint)′=−Rcost,y′′=(Rcost)′=−Rsint.
Координаты центра кривизны (ξ,η) вычисляются по формулам:
ξ=x−y′(x′)2+(y′)2x′y′′−x′′y′,η=y+x′(x′)2+(y′)2x′y′′−x′′y′.
Подставляя в эти формулы выражения для координат x,y и их производных, находим:
ξ=x−y′(x′)2+(y′)2x′y′′−x′′y′=Rcost−Rcost(−Rsint)2+(Rcost)2(−Rsint)⋅(−Rsint)−Rcost⋅(−Rcost)=Rcost−RcostR2sin2t+R2cos2tR2sin2t+R2cos2t=Rcost−Rcost≡0;
η=y+x′(x′)2+(y′)2x′y′′−x′′y′=Rsint+(−Rsint)(−Rsint)2+(Rcost)2(−Rsint)⋅(−Rsint)−Rcost⋅(−Rcost)=Rsint−RsintR2sin2t+R2cos2tR2sin2t+R2cos2t=Rsint−Rsint≡0.
Таким образом, мы получили тривиальный результат: эволютой окружности является единственная точка − центр этой окружности.
Пример 2
Найти эволюту эллипса
x2a2+y2b2=1.
Решение.
Запишем уравнение эллипса в параметрической форме:
x=acost,y=bsint.
Производные координат x и y по параметру t записываются в виде
x′=(acost)′=−asint,y′=(bsint)′=bcost,
x′′=(−asint)′=−acost,y′′=(bcost)′=−bsint.
Для вычисления координат центра кривизны (ξ,η) используем формулы:
ξ=x−y′(x′)2+(y′)2x′y′′−x′′y′,η=y+x′(x′)2+(y′)2x′y′′−x′′y′.
Подставляя выражения для x,y и их производных, получаем:
ξ=x−y′(x′)2+(y′)2x′y′′−x′′y′=acost−bcost(−asint)2+(bcost)2(−asint)(−bsint)−(−acost)(bcost)=acost−bcosta2sin2t+b2cos2tabsin2t+abcos2t=acost−costa2sin2t+b2cos2ta=a2cost−a2sin2tcost−b2cos3ta=a2cost(1−sin2t)−b2cos3ta=1a(a2cos3t−b2cos3t)=a2−b2acos3t;
η=y+x′(x′)2+(y′)2x′y′′−x′′y′=bsint−asint(−asint)2+(bcost)2(−asint)(−bsint)−(−acost)(bcost)=bsint−asinta2sin2t+b2cos2tabsin2t+abcos2t=bsint−sinta2sin2t+b2cos2tb=b2sint−a2sin3t−b2cos2tsintb=b2sint(1−cos2t)−a2sin3tb=1b(b2sin3t−a2sin3t)=b2−a2bsin3t.
Следовательно, эволюта эллипса описывается следующими параметрическими уравнениями:
ξ=a2−b2acos3t=(a−ba)cos3t,η=b2−a2bsin3t=(b−ab)sin3t.
Исключая параметр t, можно записать уравнение эволюты в неявной форме:
ξ=a2−b2acos3t,⇒aξ=(a2−b2)cos3t,⇒aξa2−b2=cos3t,⇒(aξ)23(a2−b2)23=cos2t;
η=b2−a2bsin3t,⇒bη=(b2−a2)sin3t,⇒bη[−(a2−b2)]=sin3t,⇒(bη)23(a2−b2)23=sin2t.
Складывая квадраты косинуса и синуса, получаем:
(aξ)23(a2−b2)23+(bη)23(a2−b2)23=1,⇒(aξ)23+(bη)23=(a2−b2)23.
Обозначим aξ=X, bη=Y, a2−b2=A. Тогда уравнение эволюты можно представить в виде
X23+Y23=A23.
Как видно, эволюта эллипса представляет собой кривую типа астроиды. В отличие от "правильной" астроиды, полученная кривая вытянута вдоль одной из осей (рисунок 3).
эволюта эллипса в форме астроиды
эволюта параболы - полукубическая парабола
Рис.3
Рис.4