Вспомнил про тему. Решил предельно доступно и наглядно описать решение.
Решение.
Для наглядности пронумеруем монеты - 1,2, ..., 12.
Разобьем монеты на три группы по 4 монеты каждая - (1,2,3,4), (5,6,7,8) и (9,10,11,12)
1) 1-е взвешивание.
Взвешиваем (1,2,3,4) и (5,6,7,8).
1a) (1,2,3,4) = (5,6,7,8) (вес одинаков, более простой случай). Вывод - все эти монеты настоящие, фальшивая среди (9,10,11,12).
1б) (1,2,3,4) <> (5,6,7,8). Вес неодинаков. Пусть для определенности (1,2,3,4) < (5,6,7,8). Монеты (9,10,11,12) не фальшивые.
2а) 2-е взвешивание.
Взвешиваем (1,2,3) и (9,10,11). Монеты (1,2,3) - эталонные, настоящие.
2a1) (1,2,3) = (9,10,11). Фальшивая - 12.
3 -е взвешивание.
Взвешиваем (1) и (12). Просто определяем легче иили тяжелее фальшивая монета.
2a2) (1,2,3) <> (9,10,11). Пусть для определенности (1,2,3) < (9,10,11). Тогда фальшивая монета среди (9,10,11) и она тяжелее.
3-е взвешивание.
Взвешиваем (9) и (10). Если (9)=(10), то фальшивая 11 и она тяжелее. Если (9)<>(10), например, (9)<(10), то фальшивая 10, так как тяжелее.
2б) 2-е взвешивание.
Вынимаем со второй чаши монеты 5,6,7 и кладем вместо них монеты 1,2,3 из первой чаши.
В первую чашу кладем настоящие монеты 9,10,11.
Взвешиваем (9,10,11,4) и (1,2,3,8).
2б1) (9,10,11,4) = (1,2,3,8). Значит эти все настоящие, а фальшивая среди (5,6,7) и она тяжелее.
3-е взвешивание.
Взвешиваем (5) и (6). Если (5) = (6), то фальшивая 7 и она тяжелее.
Если (5) < (6), то фальшивая 6.
2б2) (9,10,11,4) < (1,2,3,8). То есть вторая чаша по-прежнему тяжелее. Это значит, что фальшивая 4 и она легче или фальшивая 8 и она тяжелее.
3-е взвешивание.
Взвешиваем (4) и (12).
Если (4) = (12), то фальшивая 8 и она тяжелее.
Если (4) < (12), то фальшивая 4 и она легче.
2б3) (9,10,11,4) > (1,2,3,8). Вторая чаша тяжелее, теперь она легче. Значит фальшивая монета среди монет 1,2,3 и она легче.
3-е взвешивание.
Взвешиваем (1) и (2).
Если (1) = (2), то фальшивая 3 и она легче.
Если (1) < (2), то фальшивая 1 и она легче.
